Уникальные студенческие работы


Выпуклые множества и выпуклые функции реферат

В9 Печатается по решению методического совета филиала Кемеровского государственного университета в г.

  • Примерами выпуклых множеств являются;
  • Одни множества например, круг, прямоугольник, полоса между параллельными прямыми содержат и внутренние, и граничные точки; другие например, отрезок, окружность состоят только из граничных точек.

Анжеро-Судженске В9 Выпуклые функции. Гарайшина; филиал Кемеровского государственного университета в г. Данные методические указания содержат необходимые теоретические сведения для усвоения основных понятий, а также методически разобранные примеры и задачи, позволяющие студенту освоить решение задач выпуклого программирования. Выпуклые множества Пусть х, у, z элементы -мерного действительного евклидова пространства R. Будем называть их также векторами или точками пространства R.

Например, выпуклыми множествами являются точка, выпуклые множества и выпуклые функции реферат, про- странство R, открытый и замкнутый параллелепипед, открытый и замкнутый шар. Пустое множество не является выпуклым.

  1. Таким образом, при поиске минимума максимума линейной функции на выпуклом замкнутом ограниченном многограннике достаточно рассмотреть угловые точки многогранника.
  2. Из первого и второго уравнений получаем.
  3. Диаметром множества Х называется число dam X sup y. Для завершения доказательства рассмотрим f h h f h u h u h h 0 hu h u 0 hf h f.

Непустое пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Поэтому по определению М выпуклое множество. Гиперплоскость является выпуклым множеством. Действительно, пусть, y G. Направление неравенства в определении можно взять и противоположным. Полупространство является выпуклым множеством. Действительно, пусть, y S.

Выпуклые множества и выпуклые функции

Непустое пересечение конечного числа полупространств называется выпуклым многогранником. Применение термина выпуклый многогранник объясняется тем, что полупространство выпуклое множество, а непустое пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Действительно, неравенство 0 можно интерпретировать как систему неравенств e, e, где e . Пусть выпуклый многогранник G задан системой неравенств a, c, 5 a kk где a. Если точка выпуклые множества и выпуклые функции реферат G обращает в равенства не менее неравенств, причем ранг соответствующей системы векторов равен, то точка у называется угловой или крайней точкой многогранника.

Отметим, что число угловых точек выпуклого многогранника может быть в зависимости от и k очень большим. Так как равенство вида a, c можно заменить системой двух неравенств a, c, a, c, то если в определении часть неравенств или все неравенства заменить соответствующими равенствами, то получающаяся система условий также определяет выпуклый многогранник.

Напомним определение часто используемого выпуклого множества. Граничная точка может и не принадлежать множеству X. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Множество Х называется открытым, если оно не содержит свои граничные точки. R является открытый шар Определение. Диаметром множества Х называется выпуклые множества и выпуклые функции реферат dam X sup y. В случае замкнутого множества символ X, y X sup можно заменить на символ ma.

Множество Х называется ограниченным, если его диаметр является конечным числом. Конус может быть как замкнутым, так и незамкнутым множеством.

Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

Компактом называется замкнутое ограниченное множество. Замкнутые ограниченные множества представляют особый интерес в связи с теоремой Вейерштрасса, которая утверждает, что непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве компакте достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Экономика - рефераты, шпаргалки, семинары, лекции, конспекты

Определение выпуклых функций Определение. Очевидно, функция f вогнута, если функция f выпукла. Если в неравенство строгое, то функция f называется строго выпуклой. Если в неравенство строгое, то функция f называется строго вогнутой. При доказательстве некоторых утверждений полезным является другое равносильное определение, которое сформулируем в следующей теореме. Для того чтобы функция f была выпукла на выпуклом множестве Х, необходимо и достаточно, чтобы, y X выполнялось неравенство 7 R R f y [ f f y ].

Свойства выпуклых функций Теорема. Сумма выпуклых на выпуклом множестве Х функций является выпуклой функцией. Пусть функции f и g выпуклые функции на множестве Х. Сложив эти неравенства, для функции h f g получаем: Заметим, что теорема будет справедливой и в случае суммы произвольного выпуклые множества и выпуклые функции реферат числа выпуклых функций.

Легко видеть, что в -мерном евклидовом пространстве R линейная функция l p, с, где р неко- торый заданный вектор, с действительное число, выпуклые множества и выпуклые функции реферат одновременно неравенствам.

То есть линейная функция является одновременно и выпуклой, и вогнутой функцией.

Лекция: Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции. Теорема Куна-Таккера.

Для того чтобы квадратичная функция fBгде В симметрическая матрица, была выпуклой в R, необходимо и достаточно, чтобы матрица В была положительно определенной. Пусть функция f выпукла. Пусть матрица В положительно определена. Тогда с учётом 3 будет выполняться неравенството есть функция f выпукла. Для того чтобы квадратичная функция fB p, c, где В симметрическая матрица, бы- ла выпуклой в R, необходимо и достаточно, чтобы матрица В была положительно определенной. Поэтому доказательство следствия совпадает с доказательством теоремы.

Очевидно, что для строгой выпуклости квадратичной функции необходимо и достаточно, чтобы матрица Выпуклые множества и выпуклые функции реферат была строго положительно определенной. Выпуклая на выпуклом множестве X функция f является непрерывной в каждой внутренней точке множества X.

Выпуклая на выпуклом множестве X функция f имеет в каждой внутренней точке X производную по любому направлению a: Если функция f выпукла на выпуклом множестве X, и. Условия выпуклости первого порядка Теорема. Для того чтобы дифференцируемая на выпуклом замкнутом множестве X функция f была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы 0 X и X выполнялось неравенство f 00 f f 0. Слева записано выражение для касательной гиперплоскости к поверхности y f или к графику функции y f.

Поэтому теорему можно переформулировать следующим образом. Для того чтобы дифференцируемая на выпуклом замкнутом множестве X функция f была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы график функции f на множестве X располагался не ниже касательной гиперплоскости в точке 0. Пусть функция f выпукла на множестве X. Запишем выпуклые множества и выпуклые функции реферат из определения выпуклости в несколько ином виде.

  • Нас интересует изменение значения функции Лагранжа при изменении;
  • Тогда из предыдущего неравенства имеем;
  • Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто.

Перенесем f в левую часть и разделим полученное неравенство на h 0: Поэтому неравенство примет вид. Пусть имеет место неравенство. Построим функцию одной переменной u h f 0 h 0 f h h 0. Выпуклые множества и выпуклые функции реферат этой функции f 0 h 0 u h 0 f 0 h 00. Аналогично после замены h h, h h получаем: Складывая эти два неравенства, имеем: Так как h h, то u h u hто есть производная u h монотонно возрастает. А это означает выпуклость функции u h.

Для завершения доказательства рассмотрим f h h f h u h u h h 0 hu h u 0 hf h выпуклые множества и выпуклые функции реферат. Так как это неравенство верно для всех, 0 X и h [], то функция f является выпуклой на множестве Х. Пусть функция f выпукла на выпуклом множестве Х, выпуклые множества и выпуклые функции реферат f 0 X.

Тогда функция f также выпукла на множестве Х. Для доказательства этого утверждения рассмотрим f y [ f f y ] 4 f f y [ f f f y f y ]. Так как выражение внутри квадратной скобки неотрицательно, то f y f f yчто и означает выпуклость функции f. Пусть функции f . Для общего случая доказательство затем легко проводится методом математической индукции. Условия выпуклости второго порядка Теорема. Пусть функция f дважды дифференцируема на выпуклом множестве X. Тогда для того чтобы функция f была выпуклой на множестве X необходимо и достаточно, чтобы матрица вторых производных H функции f матрица Гессе была положительно определенной для всех X.

Обозначим 0 X 0.

ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Отсюда следует, что матрица H положительно определена. Пусть матрица H положительно определена для всех X. Отсюда по необходимому и достаточному условию выпуклости первого порядка следует, что функция f выпукла на множестве X.

Множества, определяемые неравенствами с выпуклыми функциями Теорема. Полученное неравенство f z b означает, что z D. Отсюда по определению выпуклого множества следует, что D выпуклое множество. Экстремальные свойства функций на выпуклых множествах Определение. Очевидно, если внутренняя точка множества X, то в этой точке любое направление является возможным см.

Локальный минимум выпуклой функции f на выпуклом множестве X является её глобальным минимумом. Воспользуемся методом математической индукции. Множество точек глобального выпуклые множества и выпуклые функции реферат выпуклой на выпуклом множестве X функции f является выпуклым. Пусть, две точки, выпуклые множества и выпуклые функции реферат которых достигается глобальный минимум: Поэтому это множество выпукло.

Строго выпуклая на выпуклом множестве X функция f имеет единственную точку минимума. Докажем утверждение методом от противного.

VK
OK
MR
GP